1. Lý thuyết trơn nhớt và dòng chảy Hele-Shaw: dựa trên tỉ số số hạng lớn để cho thấy rằng một số số hạng trong các phương trình là nhỏ và và do đó có thể bỏ qua được.

Lubrication theory and Hele–Shaw flow exploits the large aspect ratio of the domain to show that certain terms in the equations are small and so can be neglected.

2. Nó hội tụ khá chậm, sau 500 000 số hạng, nó chỉ sinh ra 5 chữ số chính xác của π.

It converges quite slowly, though – after 500,000 terms, it produces only five correct decimal digits of π.

3. Từ công thức Euler, chúng ta thấy đây thậm chí số hạng chẵn, một - x ^ 2 / 2 giai thừa + x ^ 4 / 4 giai thừa, et cetera, là cô sin x.

From Euler's formula, we see that these even terms, one - x^2 / two factorial + x^4 / four factorial, et cetera, comprise cosine of x.

4. Sau đó, chúng ta có được ở bên trái. chuỗi hoặc đa thức dài, một - x ^ 2 / 2 giai thừa + x ^ 4 / 4 giai thừa, và et cetera, tất cả các số hạng chẵn.

Then, we obtain on the left. the series or long polynomial, one - x^2 / two factorial + x^4 / four factorial, and et cetera, all the even powered terms.

5. Những chuỗi vô hạn xuất hiện khi tính đến số hạng bậc cao hơn, khiến cho các tính toán trở lên vô nghĩa và dấy lên những nghi ngờ về tính nhất quán nội tại của lý thuyết.

At higher orders in the series infinities emerged, making such computations meaningless and casting serious doubts on the internal consistency of the theory itself.