1. They exist together, two sides of a coin.

Они существуют вместе, две стороны монеты.

2. There exist Firebird distribution packages for Windows, Linux, Unix, Solaris, MacOS, 32- and 64-bit architecture.

Дистрибутивы Firebird существуют под Windows, Linux, Unix, Solaris, MacOS, под 32-х и 64-х битную архитектуру.

3. She arrived in New York City in 1921, where she discovered the studio she was contracted to, didn't exist anymore.

Она прибыла в Нью-Йорк в 1921 году, где вдруг обнаружила, что пригласившей её киностудии уже не существовало.

4. A4 is the smallest group demonstrating that the converse of Lagrange's theorem is not true in general: given a finite group G and a divisor d of |G|, there does not necessarily exist a subgroup of G with order d: the group G = A4 has no subgroup of order 6.

A4 является наименьшей группой, показывающей, что теорема, обратная теореме Лагранжа, в общем случае, не верна — если дана конечная группа G и делитель d числа |G|, не обязательно существует подгруппа группы G с порядком d — группа G = A4 не имеет подгруппы порядка 6.