1. If C is a preadditive category, then every morphism set Mor(X,Y) is an abelian group and therefore has a zero element.

Если C — предаддитивная категория, то каждое множество морфизмов set Mor(X,Y) является абелевой группой и имеет нулевой элемент.

2. This addition of morphism turns Ab into a preadditive category, and because the direct sum of finitely many abelian groups yields a biproduct, we indeed have an additive category.

Сложение морфизмов делает Ab предаддитивной категорией, и поскольку конечная прямая сумма абелевых групп является бипроизведением, следует, что Ab — аддитивная категория.

3. The category of sheaves of abelian groups on a topological space X is an abelian category, and so it makes sense to ask when a morphism f: B → C of sheaves is injective (a monomorphism) or surjective (an epimorphism).

Категория пучков абелевых групп на топологическом пространстве X является абелевой категорией, поэтому имеет смысл вопрос, когда морфизм пучков f: B → C является инъективным (мономорфизмом) или сюръективным (эпиморфизмом).

4. This is equivalent to the above notion, as every dense morphism between two abelian varieties of the same dimension is automatically surjective with finite fibres, and if it preserves identities then it is a homomorphism of groups.

Это эквивалентно вышеприведенному понятию, поскольку любой плотный морфизм между двумя абелевыми многообразиями одной и той же размерности является автоматически сюръективным и имеет конечные слои, а если он сохраняет единицы, то он является гомоморфизмом групп.